Autor: Antonín Jančařík, Katedra matematiky a didaktiky matematiky, Pedagogická fakulta, Karlova Univerzita, antonin.jancarik@pedf.cuni.cz

A. Úvod

V této kapitole představím několik typů úloh – pracovních listů, které vznikly v Národním vzdělávacím institutu, Nanyang Technological University, Singapore a jsou určené pro žáky prvního stupně. Materiály byly přeloženy z anglického jazyka ze sbírky úloh pro učitele (Kaur & Yeap, 2009) a experimentálně ověřeny v českých školách. Všechny prezentované materiály jsou dostupné na stránce http://mdisk.pedf.cuni.cz/Math.

B. Postup práce

Každá z úloh, kterou zde bude představovat, představuje způsob, jak pracovat se slovní úlohou. Všechny úlohy jsou zadávány formou pracovního listu, se kterým se pracuje v několika krocích:

• Vysvětlete zadání úlohy dětem.
• Nechte děti si samostatně přečíst zadání.
• Nechte děti přemýšlet o problému. Požádejte je, aby přemýšlely, co k řešení potřebují.
• Diskutujte s dětmi o problému. Ptejte se jich, jak chtějí postupovat a proč.
• Dejte dětem čas úlohu vyřešit.
• Požádejte děti, aby prezentovaly svá řešení.
• Zeptejte se dětí, jak mohou ověřit, že je řešení správné.

Úlohy jsou navrženy tak, aby rozvíjely kritické a kreativní myšlení, jehož součástí je i schopno argumentovat a zdůvodnit své postupy, či kriticky zhodnotit uvažování svých spolužáků.

1. Které číslo dává smysl?

Úlohy typu Které číslo dává smysl vznikají tak, že ke slovní úloze je vytvořen postup řešení. Z tohoto postupu jsou následně odstraněna čísla, nebo další důležité informace, a umístěna mimo text. Úkolem žáků je vrátit informace zpět do textu tak, aby dával smysl. Při řešení pracovních listů tohoto typu se žáci učí nejen hledat souvislosti mezi čísly, které doplňují, ale zároveň se seznamují se způsobem uvažování, který po nich v rámci řešení slovních úloh chceme.

Úlohy tohoto typu jsou u žáků oblíbené. Při prvním setkání je (a často mylně) považují za jednodušší než běžné slovní úlohy. Vyskytl se i komentář, že to vlastně není matematika, ale čeština.

Zkušenosti z výuky:

Přesto, že se jedná jen o umístění pouhých čtyř čísel do textu, je úloha pro žáky poměrně náročná a nalezení, resp. ověření, vztahů, jim zabere cca 10–15 minut. Tato úloha je charakteristická tím, že umožňuje více řešení.  Výjimečně lepší žáci naleznou více než jedno řešení, ještě jsem se nesetkal s tím, že by nějaký žák našel všechna řešení. Co se ale stává v podstatě vždy, je to, že různí žáci/skupiny žáků, naleznou různá řešení. Proto je vhodné věnovat čas i prezentaci výsledků jednotlivých žáků a diskusi o nich. Skutečnost, že řešení může být více, může být pro některé žáky překvapivá. Prezentace jiného řešení je může vést k přesvědčení, že jejich řešení musí být špatné. Je potřeba jim dát prostor, aby také představili své řešení a důvody, proč ho považují za správné.

V některých případech je žáky diskutováno, zda některá řešení, která číselně „sedí“, dávají smysl. A to jak z důvodů jazykových: „V každém balení bylo 2 bonbónů.“, tak z důvodů věcných. Někteří žáci budou rozporovat oslavu, na které byly jen dvě děti a jiní zase oslavu s osmdesáti dětmi. Učiteli tak úloha otevírá prostor i k dalším diskusím. Doporučuji se debatám na tato témata nevyhýbat, protože se žáci současně učí, že řešení slovní úlohy není jen o číselných vztazích, ale musí dávat smysl i vzhledem k zadání úlohy. To odpovídá cílovému zaměření matematiky dle RVP, kde se výslovně uvádí, že žáka vede vyhodnocování správnosti výsledku vzhledem k podmínkám úlohy nebo problému.

2. Na jakou otázku lze odpovědět?

V úloha tohoto typu je sice popsána situace, ale není položena žádná otázka, na kterou by měli žáci zodpovědět. Úkolem žáků je položit si dvě, nebo více otázek a následně na ně na základě vstupních informací nalézt odpověď. Vyžadovat dvě otázky současně je velmi důležité vzhledem ke způsobu, jakým funguje lidské myšlení. Nalezení první otázky je většinou okamžité, ale nad druhou se musíte zamyslet.

Zkušenosti z výuky:

Při zadávání úloh tohoto typu je velmi důležité, aby byl dostatek času věnován společné části práce. Existuje celá řada otázek, které lze v souvislosti s uvedených menu položit, ale není možné je na základě poskytnutých informací zodpovědět.

Jaké máte příchutě pizzy nebo máte i něco k pití, jsou dobré otázky, které žáky v souvislosti s menu napadají, ale nedá se na základě poskytnutých informací získat odpověď.

Při použití ve třídě je běžné, že žáci volí otázky tak, aby na ně uměli bezpečně nalézt odpověď. Díky svobodě zvolit si vlastní obtížnost, přispívá použití úloh tohoto typu k vytváření bezpečného prostředí a při jejím řešení mohou zažít úspěch všichni žáci. Každá otázka, kterou si položí a umí ji zodpovědět, je dobrá. Zároveň tak úloha kromě rozvoje žákovských dovedností slouží učiteli jako diagnostický nástroj a ukazuje, na jaký typ úloh žákům ještě přijde bezpečný.

Jaké typy úloh žáci vytváří? Na základě testování ve školách lze říci, že žáci volí různé typy úloh. I když se často stává, že první i druhá otázka vychází ze stejného schématu, není řídkým jevem, že se obě otázky od sebe způsobem řešení liší. Zatím jsme zaznamenaly následující typy otázek:

Otázka na cenu
Kolik stojí pizza chléb?

Sčítání
Kolik stojí malá a střední pizza dohromady?

Vícenásobné sčítání
Kolik stojí celé menu dohromady? Kolik stojí všechny pizzy dohromady?

Odčítání – o kolik?
O kolik je velká pizza dražší než střední?

Obrázek 1 – Ukázka žákovského řešení

Odčítání – vracení
Mám 500 Kč. Kolik dostanu nazpět, když si koupím střední a velkou pizzu?

Násobení
Kolik stojí tři malé pizzy?

Obrázek 2 -Ukázka žákovského řešení

Násobení zlomky
Kolik stojí polovina pizza chleba? Kolik stojí 1/8 velké pizzy?
Tyto otázky se objevovaly překvapivě často a jistě má smysl se jim v diskusi více věnovat, zda dávají smysl?

Násobení a sčítání
Kolik stojí dvě malé pizzy a tři střední pizzy dohromady?

Dělení
Kolik pizza chlebů si mohu koupit za 200 Kč?

Minimum a maximum
Co je v nabídce nejlevnější? Co je nejdražší?

Sleva
Kolik bude stát pizza chleba, pokud bude s 20 % slevou?

Co si mohu koupit?
Mám 200 Kč, co si mohu koupit a kolik mi zůstane?
Je velmi pěkné, že někteří žáci nabídnou i takovou široce otevřenou otázku, která přímo vychází ze situace.

Setkáváme se ale s otázkami, které jsou velmi neobvyklé. Uvádím zde některé autentické řešení, abyste si mohli udělat představu, jak s jak divergentním uvažováním se můžeme také na prvním stupni setkat.

Kolik je písmen v názvu Pizzerie?

Jakým nejmenším počtem mincí mohu zaplatit za velkou pizzu?

Kolik čísel je na menu? Ukázalo se, že žák myslel číslice.

3. Co když?

U úloh typu Co když? nejprve představíme úlohu, a následně uvedeme několik typových otázek, které mění vztahy v zadání úlohy. Následně jsou žáci vyzváni, aby vytvořili několik svých otázek. Na závěr jsou žáci vyzváni, aby zkusili v situaci najít nějaký vzor nebo souvislost. Úlohy tohoto typu vedou žáky k analýze zadání a postupů řešení a vedou je ke zobecňování poznatků.

Zkušenosti z výuky:

Mým asi největším překvapením z experimentálního ověřování bylo zjištění, že pro žáky je velmi obtížné vůbec sestavit další otázku dle poskytnutého vzoru. Při experimentálním ověřování většina žáků nesestavila žádnou otázku, nebo sestavily otázky, které se tématu netýkaly – Co když ožijí dinosauři? Nebo neodpovídaly uvedenému schématu – Co když míček stojí 20 Kč, kolik to stojí?

Velmi často v rámci experimentálního ověřování sestavili zcela novou úlohu:

Co když v krabici bude 1/6 míčků prasklých, kolik bude v krabici nepoškozených míčků?

 I u toho typu úloh je na žácích, jak komplikovanou úlohu si položí. Takže je běžné, že si čísla volí „bezpečně“. Co když ½ z nich budou žluté? 90 bílých míčků.

Žáci někdy zkombinují dvě změny do jedné: Co když v krabici bude 120 míčků a ½ z nich budou žluté?

U některých žáků se ale setkáváme i s tím, že se nebojí pracovat se zadanou devítinou:

Obrázek 3 – Ukázka žákovského řešení

Co když bude v krabici 63 míčků. Potom bílých bude 28. (žák 4. třídy)

Někteří žáci naopak volí čísla s velkým jmenovatelem, pro které má úloha stále celočíselné řešení:

Co když 1/90 z nich budou žluté?

Co když 3/45 z nich budou bílé?

Popřípadě si sami volí zlomky s větším jmenovatelem a současně vybírají počet míčků tak, aby úloha měla celočíselné řešení:

Co když v krabici bude 150 pingpongových míčků a 4/5 z nich budou bílé? (žákyně 4. třídy)

Co když v krabici bude 160 pingpongových míčků a 5/8 z nich budou žluté? (žákyně 4. třídy)

Na druhou stranu se setkáme i s tím, že někteří žáci sice sestaví otázku dle vzoru, ale již neřeší, že úloha potom nemá rozumné řešení:

Co když bude v krabici 100 pingpongových míčků?

Vztah mezi zvoleným jmenovatelem zlomku a počtem míčků v krabici je pak dobrým námětem na společnou diskuzi a tom, kdy úloha dává a nedává smysl.

4. Nalezni k odpovědi otázku

V úlohách typu Co je otázkou? je popsána situace, ke které se vztahuje slovní úloha a odpovědi na otázky, které však nejsou položené. Úkolem žáků je nalézt otázky, které odpovědím odpovídají. Je potřeba si uvědomit, že k jedné odpovědi lze velmi často nalézt i více otázek, přičemž všechny jsou správné.

Zkušenosti z výuky:

První překvapivou zkušeností je, že žáci někdy nekladou otázku, ale nabízí „odpověď“.

Co je otázkou, když odpověď je 99 m? 9000 mm

Co je otázkou, když odpověď je 99 m? 330 povlaků

Proto je nutné v rámci počátečního rozboru úlohy věnovat pozornost vysvětlení zadání v úvodní části.  Pro další průběh musí žáci pochopit, co se po nich chce.

I když porozumí zadání, je pro ně obtížné položit otázku, někdy jen popíší situaci. Např. u první otázky – Zákazník chce 33 povlaků. (žák 5. třídy) Jedná se o konstatování, nikoli otázku. Ty by měla znít například Kolik m látky budu potřebovat na 33 povlaků na polštáře? (žák 4. třídy)

Nebo Co když do ale do obchodu přišel v noci zloděj a ukradl ze 150 m látky 51 m látky? (žákyně 5. třídy) Zde je sice popsána situace, kdy v obchodě zůstává 99 m látky, dokonce i položena otázka, ale na otázku Co když …? Nelze odpovědět 99 m,

Žáci, kteří odhalili, že po nákupu obou zákazníků zbylo v obchodě 99 m látky, většinou otázku položí správně. Kolik zbylo látky? Ale i v tomto případě místo otázky jen popíšou situaci: Zbylo jí 99 m látky.

U druhé otázky si dle dosavadních zkušeností většina žáků uvědomí, že 30 m nějakým způsobem souvisí s ušitím 10 povlaků, tento vztah vyjadřují žáci různě:
Kolik m látky budu potřebovat na 10 povlaků na polštáře? (žák 4. ročník)

Kolik si zákazník koupí m látky? (4. ročník) Zde je zajímavý fenomén, že žák úlohu ve své mysli vyřeší, ale zapomene dopsat, o kterého ze zákazníků se jedná. To se stává poměrně často, v některých případech je údaj o prvním zákazníkovi žákem doplněn následně.

Obrázek 4 – Ukázka žákovského řešení

Třetí otázka činí žákům velké potíže. Protože neumí formulovat otázku, na kterou může daná odpověď přijít. Např. žák, který zkonstruoval první dvě otázky u této napsal nepochopil jsem. Nebo jiný žák 4. ročníku vytvořil správně zbylé tři otázky, ale u této uvádí nemohu vytvořit větu (viz obrázek).

Popřípadě reagují i situací, která nevede k dané odpovědi:

Chcete ušít 59 povlaků na polštáře. (S pomocným výpočtem 21+33 = 54)

I když žáci větu vytvoří, je často neúplná:

O kolik povlaků na polštáře de udělat z 150 m látky?

Obrázek 5 – Ukázka žákovského řešení

Obdobně dělá žákům problém poslední otázka, kde se ale velmi často spíše odpovědi vyhnou. Ale již i u žáků 4. ročníku se můžeme setkat s tím, že mají vhled do situace sestaví otázku, která se přímo k zadání vztahuje?

Jakou část látky koupil první zákazník?

C. Závěr

Představené typy pracovních listů ze Singapurské matematiky představují přístupy, kterými jde práci se slovními úlohami obohatit a vést žáky k hlubšímu zamyšlení nad řešenými úlohami. Pracovní listy lze používat buď přímo tak, jak jsou navržené, nebo lze uvedené postupy převzít a začlenit je do diskusí nad úlohami, které žáci běžně řeší. Co je důležité, že ve všech činnostech je aktivita na straně žáka a nikoli učitele. Je podstatný rozdíl v tom, když otázky vytváří učitel a když si je klade žák sám.

Pracovní listy mají sloužit jako vzor, jak s úlohami pracovat. Pokud vás prezentované přístupy zaujaly, tak více informací o metodě i další pracovní listy naleznete na stránkách http://mdisk.pedf.cuni.cz/Math. Naším cílem je počet pracovních listů postupně rozšiřovat. Pokud sestavíte vlastní pracovní list, o který se budete chtít podělit s dalšími učiteli, velmi ocením, když mi jej pošlete na moji e-mailovou adresu  antonin.jancarik@pedf.cuni.cz. Budu vděčný i za komentáře a postřehy k textu a vaší osobní zkušenost s využitím materiálů se žáky.

D. Literatura

Kaur, B., & Yeap, B. H. (2009). Pathways to reasoning and communication in the primary school mathematics classroom. Singapore: National Institute of Education.